Redeneren en Logica

The faculty of EEMCS awarded Tomas Klos as Best Teacher of EEMCS 2011 and 2012. Tomas Klos was nominated for Best Teacher of TU Delft 2011.

Het vak Redeneren en Logica gaat over redeneringen en hun geldigheid. Een redenering bestaat uit een aantal premissen, en een conclusie. Een redenering is geldig wanneer de conclusie altijd waar is wanneer de premissen dat zijn. Het kan, wanneer een redenering geldig is, dus niet voorkomen dat de premissen waar zijn, en de conclusie onwaar. Zo’n situatie heet een tegenvoorbeeld, en dat toont aan dat een redenering ongeldig is. Wanneer een redenering geldig is, heet hij een stelling (“theorem” in het engels), en kan men de conclusie afleiden uit de aanname dat de premissen waar zijn. Zo’n afleiding heet een bewijs. Wanneer in wetenschappelijke literatuur een nieuwe stelling wordt gepresenteerd, zal er altijd een bewijs bij (horen te) worden gegeven.

In dit vak bestuderen we een viertal hoofdonderwerpen. Allereerst bespreken we een aantal bewijstechnieken waarmee we bewijzen voor eenvoudige stellingen kunnen geven, bijvoorbeeld over deelbaarheid van gehele getallen. Voorbeelden van zulke bewijstechnieken zijn: bewijs uit het ongerijmde, met gevalsonderscheid, en van contrapositie. Als tweede onderwerp introduceren we de propositielogica, een kunstmatige taal waarin we eenvoudige redeneringen kunnen uitdrukken. Omdat het een kunstmatige taal is, kunnen we het onderzoeken van de geldigheid van zulke redeneringen formaliseren. We behandelen een aantal methoden om die geldigheid vast te stellen, bijvoorbeeld waarheidstafels, de boommethode, en resolutie. Daarnaast besteden we aandacht aan Fitch, een formeel systeem om bewijzen in uit te drukken.

Het derde hoofdonderwerp betreft verzamelingenleer, een formalisme waarop (in principe) alle wiskunde is opgebouwd. We behandelen relaties tussen en operaties op verzamelingen, en leren eenvoudige stellingen over verzamelingen te bewijzen. De verzamelingenleer is niet alleen op zichzelf een belangrijk onderwerp om kennis over te hebben in een exacte wetenschap als de informatica, maar is ook belangrijk om uitdrukkingen in de predicatenlogica van een waarde te voorzien. Deze predicatenlogica, het vierde hoofdonderwerp, is een rijkere kunstmatige taal dan de propositielogica, waarin we uitgebreidere redeneringen kunnen uitdrukken dan in de propositielogica. Ook hier bespreken we een aantal methoden om de geldigheid van zulke uitdrukkingen te onderzoeken, zoals de boommethode en resolutie. Tenslotte behandelen we de programmeertaal Prolog, waarmee automatisch beweringen op geldigheid kunnen worden onderzocht, en zien we hoe we dit principe kunnen gebruiken om bruikbare programma’s te schrijven.