Inleiding

Sommige wiskundige begrippen lijken in eerste aanleg ontleend aan vormen en patronen in de natuur. De omtrek van de volle maan suggereert bijvoorbeeld de cirkel, de waterspiegel het platte vlak, Maar afgezien van de oorsprong van sommige termen kan men toch nauwelijks van ‘wiskunde’ spreken voordat dergelijke begrippen daadwerkelijk werden gebruikt in de praktijk van het meten en tellen. Wiskunde is in die zin niet voorgekomen uit passieve waarneming, maar uit de actieve aanpak van praktische problemen.

Oorsprong van de Wiskundige Theorie

In de Griekse wereld gaat de wiskunde terug tot Thales en Pythagoras, die omstreeks de zesde of zevende eeuw voor onze jaartelling geleefd zouden hebben. Het betreft niet meer dan namen waaromheen tal van mythen zijn gesponnen. Getallen waren voor de Pythagoreeërs ‘aantallen’. In hun wiskundige terminologie waren de verhoudingen tussen grootheden altijd de numerieke verhoudingen tussen de aantallen eenheden waarin die grootheden waren uitgedrukt. De ontdekking dat tussen sommige goed gedefinieerde lijnstukken, zoals de diagonaal en de zijde van een vierkant, niet van zulke verhoudingen bleken te kunnen bestaan, bracht hun hele opvatting van wiskunde aan het wankelen.

Wiskundig Inzicht: een Opvoedkundige Dialoog

Het geval gaat terug op het allervroegste meetkundige bewijs dat ons schriftelijk is overgeleverd. Dit betreft de zogenaamde ‘verdubbeling van het vierkant’, die wij in een uitgesproken pedagogisch-filosofische context aantreffen in Plato’s dialoog Meno. In deze dialoog is de wijze Sokrates in gesprek met zijn gastheer Meno. Sokrates betoogt dat het onmogelijk is mensen iets te leren wat zij tevoren nog niet wisten. Wiskundige objecten zijn niet door mensen bedacht, maar bestaan op zichzelf al.

Herziening van Begrippen

In de dialoog speelt de ‘verdubbeling van het vierkant’ een centrale rol, en dit is een bijzonder geval van de stelling van Pythagoras. In hun wereldbeeld waren alle betrekkingen tussen ‘dingen’ in laatste instantie te herleiden tot verhoudingen tussen getallen. Zij zouden echter ontdekken dat er ‘onzegbare’ en ‘ondenkbare’ verhoudingen bestaan, wanneer ze op zoek gaan naar de vierkantswortel van twee.

De Pythagorische theorie, waarin verhoudingen waren gedefinieerd als getalsverhoudingen tussen aantallen eenheden, had aanleiding gegeven tot subtiele maar ernstige problemen in verband met de gebleken onvergelijkbaarheid van sommige grootheden. Het was nu de vraag o het mogelijk was een (nieuw) begrip ‘verhouding’ in te voeren dat ons in staat zou stellen de betrekkingen tussen grootheden exact weer te geven zelfs wanneer die grootheden onvergelijkbaar zijn. Deze vraag werd opgepakt en doeltreffend beantwoord door de Atheense wiskundige Eudoxos, tijdgenoot van Plato en verbonden naan diens filosofie-instituut.

Bedrieglijkheid van de Verschijnselen

De Grieken maakten een stikt onderscheid tussen ‘ware kennis’, die door zuiver redeneren wordt verworven, en ‘wankelbare mening’, die slechts op het wisselvallige en bedrieglijke karakter van de zintuigelijke gewaarwording berust. De zogenaamde ‘paradoxen van Zeno’ hebben op dit gebied terecht wereldvermaardheid verworven. Zij werden geacht aan te tonen dat alle veranderingen, dus in feite alle verschijnselen, inderdaad slechts schijn zijn. Een voorname culturele functie van de wiskunde was in dit verband het zogenaamde redden der verschijnselen, dat wil zeggen: laten zien dat achter de bedrieglijke en bedreigende chaos van veranderingen in de wereld een onveranderlijke en eeuwige mathematische orde schuilgaat.

Het Redden der Verschijnselen

Het ‘redden’ der verschijnselen moet niet verward worden met het ‘verklaren’ van verschijnselen. Er werd slechts een mathematische structuur ontworpen zonder dat iets over de fysische realiteit werd gezegd. Dergelijke vragen kwamen in het geheel niet aan de orde omdat wiskunde als kennis van de ware werkelijkheid werd beschouwd, en fysische realiteit slechts als een schijnwereld van zintuiglijke illusies.

Axiomatiek: het Euklidische Systeem

Niet de vroegste en enige, maar wel de vroegste en enige bekende axiomatisering van de wiskunde treffen wij aan in het boek Elementen, omstreeks 300 v.C. vervaardigd door ene Eukleides, die was verbonden aan het Mouseion te Alexandrië. Het bevat geen nieuwe onderzoeksresultaten, maar een logisch samenhangende uiteenzetting van de opbouw van de wiskunde uit ‘elementen’, ‘bouwstenen’. Dit boek gold tot in de vorige eeuw als de bijbel van de wiskunde.

Wiskunde en Mechanica: Archimedes

Wie het eenvoudige denkbeeld op na houdt dat wiskundige theorieën worden ontwikkeld om deze vervolgens in de praktijk te kunnen toepassen, zal zich erover verbazen dat de volgorde van theorie en praktijk nogal eens precies omgekeerd heeft gelegen. De Griekse wiskunde berustte op de ‘theoretisering’ van reeds bestaande praktijken, en hetzelfde kan van vele latere ontwikkelingen worden gezegd. Zelfs in fantasie bestond er niet zoiets als toepassing van wetenschap. Praktisch nuttige techniek was iets dat aan wetenschap voorafging, niet iets dat uit wetenschap voortvloeide. Niettemin maakten grote wiskundigen als Archimedes in hun onderzoeksmethode gebruik van praktische en empirische technieken die – anders dan de axiomatische bewijsmethode – vrijwel universeel in alle culturen zijn ontwikkeld.

Wiskunde en Kosmografie: Ptolemaios

Deze ‘quasi-empirische’ (‘gedachte-experimentele’) inkleding maakte van Archimedes’ wiskunde veel meer dan een verzameling leerstellingen: er werd immers ook en vooral in getoond hoe wiskunde gedaan diende te worden. Als zodanig vertegenwoordigede zijn werk een geheel van mathematische theorie en onderzoekstechniek en bewijsmethode, dat in deze geïntegreerde vorm werd bewaard en doorgegeven.

Naast fysica en mechanica was nog een andere, zelfs oudere vorm van ingeklede wiskunde van buitengewoon groot belang. De wiskundige werd geacht de ‘elementen’ te beschrijven waaruit de Kosmos was opgebouwd. De kosmografie, de wiskundige beschrijving van de bewegingen van de sterrenhemel, was vanouds het ‘toepassingsgebied’ bij uitstek van de wiskunde. Wat Archimedes was voor de mechanica, was de Alexandrijnse sterrenkundige Ptolemaios (tweede eeuw van de jaartelling) voor de kosmografie.

De Ouden Voorbij

In het begin van de 16e eeuw werd door Italiaanse wiskundige voor het eerst een resultaat geboekt dat met recht mag worden beschouwd als een ‘teken’ dat men de Ouden niet alleen kon evenaren, maar zelfs overtreffen. Men slaagde er namelijk in een oplosmethode te ontwikkelen voor vergelijkingen van de derde en zelfs van de vierde graad. Deze ontdekkingen vonden niet plaats in een academische en evenmin in een praktische sfeer, maar ontsproten aan de intense intellectuele competitie tussen aan de Italiaanse Renaissancehoven verbonden artiesten.

Oefenen

Nadat je de college opnamen bekeken hebt en de lastige gedeeltes nagelezen hebt in het dictaat, worden de volgende opgaven uit hoofdstuk ‘Problemen en de Ontwikkeling van Wiskunde’ van het dictaat aangeraden:

• Tekst: 1 t/m 7