We hebben al één manier gezien om vast te stellen of een redenering logisch geldig is: maak een waarheidstafel voor alle formules in de premissen en de conclusie van een redenering en ga na of er een rij in de tafel bestaat waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie onwaar. Als zo’n rij bestaat, is de redenering onwaar. Een alternatieve methode, die vaak sneller werkt, is de boommethode, een variant van de tableau-methode. Deze methode beschouwt de verzameling waarin de premissen zitten, samen met de negatie van de conclusie, en gaat na of deze verzameling vervulbaar is, m.a.w. of er een valuatie (een toekenning van waarheidswaarden aan de atomaire formules) bestaat die alle formules in de verzameling tegelijkertijd waar maakt. Als dat zo is, dan is die valuatie een tegenvoorbeeld (want hij maakt alle premissen maar ook de negatie van de conclusie waar, dus de conclusie onwaar) en is de redenering ongeldig. Als zo’n valuatie niet gevonden kan worden, is de redenering geldig.

In de boommethode worden de formules in de premissen en de negatie van de conclusie volgens bepaalde regels herschreven naar eenvoudiger formules, totdat alleen literalen overblijven: formules van de vorm A en ¬A, maar dan voor alle atomaire formules A, B, C, etc. die in de redenering voorkomen. Onder bepaalde omstandigheden vormt de methode splitsingen in de afleiding (takken), en wanneer in alle takken complementaire formules (zowel A als ¬A, voor een zekere formule A) voorkomen, sluit de tak. Wanneer alle takken sluiten, bestaat er geen valuatie die de premissen en de negatie van de conclusie waarmaakt, en is de redenering dus geldig.

Leerdoelen
De student kan elke gegeven redenering in de propositielogica op geldigheid onderzoeken door er met behulp van de boommethode een boom voor te maken, en aan de boom de juiste conclusie verbinden over de geldigheid van de redenering. Wanneer de redenering ongeldig wordt bevonden, kan de student een tegenvoorbeeld uit de boom afleiden dat deze ongeldigheid aantoont, en uitleggen hoe het tegenvoorbeeld de ongeldigheid aantoont.

Geschikte opgaven:
Logica, 5.3.1 en 5.3.2
Practicum 2, opgave 1
Herkansing practicum 2, opgave 1

Bestanden