Lesmateriaal

Dat er in Delft is gekozen voor Optimaliseren in netwerken heeft een aantal redenen. Dit onderwerp kan eenvoudig geïntroduceerd worden bij leerlingen in 4 vwo omdat geen wiskundige voorkennis van de bovenbouw nodig is en het kent voldoende mogelijkheden voor verdieping om ook voor 5 en 6 vwo interessant te zijn.

Optimaliseren in netwerken bevat een aantal onderdelen die onafhankelijk van elkaar behandeld kunnen worden. Het gebied is rijk aan toepassingen en ook zeker doorstroomrelevant – het maakt deel uit van diverse opleidingen (zoals werktuigbouwkunde en technische wiskunde) in Delft – en het biedt de leerling een aardig inkijkje in wat wiskunde in het hoger onderwijs zou kunnen inhouden. Bovendien weet de Delftse kerngroep zich gesteund door de onderzoeksgroep Optimaliseren van de faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica.

Als uitgangspunt diende een drietal teksten: het boek uit de Epsilonreeks “Operationele Analyse” van Henk Tijms, het Delftse collegedictaat “Optimaliseren in netwerken” van Kees Roos en het Amerikaanse studieboek “Introduction to Operations Research” van Hillier en Lieberman. Op advies van vakdeskundigen van de TU heeft de kerngroep een aantal optimaliseringsproblemen uitgekozen die elk met een eigen, specifiek op het betreffende probleem toegesneden methode opgelost kunnen worden. Lineair programmeren als aanpak voor een grotere klasse van optimaliseringsproblemen wordt bewaard voor een practicum voor vwo-leerlingen aan de TU, waarop we hieronder terugkomen. Door in de modules de aandacht op de specifieke methoden te richten, kan een een breed scala aan algoritmen de revue passeren. Op deze manier wordt zowel de beoogde onderlinge onafhankelijkheid van de modules als de gewenste variatie in moeilijkheid bereikt.

Omdat de teksten van Tijms, Roos en Hillier en Lieberman niet zomaar geschikt zijn voor gebruik op school, zijn er leerlingenteksten geschreven op vwo-niveau, inclusief opgavenseries met antwoorden en toetsvragen. Het is echter nadrukkelijk de bedoeling om leerlingen de gelegenheid te geven ook de oorspronkelijke hoofdstukken uit Tijms en Hillier en Lieberman te bestuderen, als u dit in uw klas haalbaar acht. Bij sommige modules is daarom een handreiking geschreven om leerlingen hierbij te helpen. Aan de hand van ‘wiskundige tekstverklaringsvragen’ wordt de leerling door de tekst geleid. Voorbeelden van dergelijke vragen zijn: “Waarom worden de capaciteiten van de extra takken zo gekozen?”, “Verzin een voorbeeld bij deze alinea”, “Controleer met een figuur of de gegeven oplossing klopt.” Op die manier raakt hij al enigszins vertrouwd met het lezen en bestuderen van Nederlandse en Engelstalige wiskundeboeken voor gevorderden. U zou als docent er dan voor kunnen kiezen de leerlingen daarnaast leerlingenteksten niet of slechts gedeeltelijk te laten gebruiken.

Ten slotte richtten we ons op het schrijven van programmatuur voor de grafische rekenmachine. Diverse algoritmen voor het oplossen van optimaliseringsproblemen lenen zich daarvoor. Ook hier is het weer aan de docent om de programmaatjes al dan niet ter beschikking te stellen. De leerlingen kunnen ook uitgedaagd worden zelf zo’n programma te schrijven.

Het materiaal is te gebruiken voor lessen wiskunde D, maar het is ook geschikt als achtergrondmateriaal voor leerlingen die een praktische opdracht over (een onderdeel van) Optimaliseren in netwerken maken. Hierdoor wordt bijgedragen aan realisering van de gedachte achter de huidige vernieuwingen van de tweede fase van havo en vwo om aan de school en aan de docent meer ruimte te laten en keuzes te bieden.

Naast een korte inleidende module (module 0) zijn er modules geschreven over

1. Minimale opspannende bomen
2. Kortste-pad-problemen
3. Maximale stromen
4. Steinerpunten
5. Minimale-kosten-maximale-stroom-problemen

Welke keuze u uit de vijf modules ook maakt, er zal altijd wel met de inleidende module 0 begonnen moeten worden. De module Minimale opspannende bomen is een goed vervolg, omdat deze van de overige modules het eenvoudigst is. Daarna zijn verschillende volgordes mogelijk. Afhankelijk van de keuzes die de docent maakt om materialen wel of niet in te zetten, is de verwachting dat met elke module ongeveer 4 tot 6 lessen gemoeid zijn.

Liesbeth Bos (Scala College Alphen aan den Rijn)

Wim Caspers (TU Delft / Adelbert College Wassenaar)

Wim van Dijk (Montessori Lyceum Rotterdam)

Jan Moen (Int. College Edith Stein Den Haag)

Rob van Oord (Coenecoop College Waddinxveen)

Sanne Schaap (Marecollege Leiden)

Jan Schrik (Christelijk Lyceum Delft)

Jeroen Spandaw (TU Delft)

Agnes Verweij (TU Delft)