In de vorige paragraaf hebben we de Monotone Convergentiestelling bewezen, die een voldoende voorwaarden voor convergentie van rijen geeft. In deze paragraaf bewijzen we de Volledigheidsstelling, die een criterium geeft voor convergentie van rijen die niet noodzakelijk monotoon zijn.

Met deze volledigeheidsstelling zijn we ook eindelijk in staat om precies te verwoorden wat nou het verschil tussen Q en R is, wat betreft eigenschappen. Eerder hebben zeiden we dat er in Q “gaten” zitten, dit maken we in deze paragraaf precies. Aan het einde van de paragraaf staat dan ook hoe je R kunt construeren uit Q.

Het einde van het college is helaas niet opgenomen, maar gelukkig wordt daarin geen stof besproken die belangrijk is voor dit vak.

Besproken stof

In dit college is paragraaf IV.4 uit het dictaat besproken tot en met de volledigheidsstelling. De rest van de paragraaf is geen stof voor dit vak, maar helpt je wel enorm om een beter inzicht te krijgen wat we nou eigenlijk bewezen hebben de afgelopen twee paragrafen. De paragraaf eindigt met de al eerder aangekondigde constructie van R uit Q. Ook dit is geen stof voor dit vak, maar wel erg interessant. Het relevante gedeelte van het dictaat vind je onder bestanden.

Oefenen

Deze paragraaf is de moeilijkste tot nu toe, maar ook de meest nuttige. Het is daarom belangrijk om goed te oefenen met de stelling van Bolzano-Weierstrass, het begrip Cauchy-rij en de volledigheidsstelling. De aanbevolen opgaven zijn:

• Oefenopgaven – 1, 3, 4, 5, 6, 10
• Inzichtsopgaven – 2, 7, 8, 12, 13
• Verdiepingsopgaven – 9

Het gedeelte van het dictaat waar de opgaven instaan vind je onder bestanden. Daar staan ook uitwerkingen van een aantal opgaven uit paragraaf IV.4.

Bestanden